Обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с запаздыванием: общие свойства и особенности

Рассматривается дифференциальное уравнение с запаздыванием
$$\dot{x}(t)=f\big(t,x(h(t))\big), \ \ t\geq 0, \ \ x(s)=\varphi(s), \ \ s<0,$$
относительно неизвестной функции $x,$ абсолютно непрерывной на каждом конечном отрезке. Предполагается, что функция $f:\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ суперпозиционно измерима, функции $\varphi:(-\infty,0)\to \mathbb{R},$ $h:\mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}$ измеримы и при п. в. $t\geq 0$ выполнено $h(t)\leq t .$ Если имеет место более обременительное неравенство $h(t)\leq t-\tau $ при некотором $\tau > 0,$ то задача Коши для этого уравнения однозначно разрешима и любое решение продолжаемо на всю полуось $\mathbb{R}_+ .$ В то же время задача Коши для соответствующего дифференциального уравнения
$$\dot{x}(t)=f\big(t,x(t)\big), \ \ t\geq 0, $$
как известно, может иметь беcконечно много решений, а максимальный интервал существования решений может быть конечным. В статье рассмотрен вопрос, какими из перечисленных свойств обладает уравнение с запаздыванием (единственность решения или бесконечность множества решений, бесконечность или конечность максимального интервала существования решений), если функция $h$ имеет всего лишь одну «критическую» точку $t_0\geq 0$ — точку, для которой мера множества $\big\{t\in (t_0-\varepsilon, t_0+\varepsilon)\cap \mathbb{R}_+ :\, h(t)>t-\varepsilon \big\}$ является положительной при любом $\varepsilon >0.$ Оказывается, что при такой функции запаздывания свойства решений близки свойствам решений обыкновенного дифференциального уравнения. Кроме того, рассмотрена задача о зависимости решений уравнения с запаздыванием от функции $h.$