Об операторных функциях операторного переменного

Рассмотрено семейство операторных функций, для которых область определения и область значений включены в вещественную банахову алгебру ограниченных линейных операторов, действующих в вещественном банаховом пространстве. Такие функции находят применение при изучении линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Изучены известные операторные функции: экспонента, синус, косинус, гиперболический синус, гиперболический косинус, определяемые суммами соответствующих операторных степенных рядов. Для функций синус, косинус, гиперболический синус, гиперболический косинус указаны формулы сложения, из которых следуют формулы преобразования произведения операторных тригонометрических функций и операторных гиперболических функций в сумму, формулы преобразования суммы и разности одноименных операторных тригонометрических функций и одноименных операторных гиперболических функций в произведение. Доказано основное операторное гиперболическое тождество. Введены понятия следующих операторных функций: тангенс, котангенс, секанс, косеканс, гиперболический тангенс, гиперболический котангенс, гиперболический секанс, гиперболический косеканс. Доказаны периодичность операторных тригонометрических функций синус, косинус, тангенс, котангенс и формулы приведения для них. Найдены взаимосвязи между операторными функциями тангенс и котангенс, гиперболический тангенс и гиперболический котангенс. Указано одно полезное применение полученных операторных тригонометрических формул: доказано, что операторные функции ${Y}_{1}(t) = \sin Bt,$ ${Y}_{2}(t) = \cos Bt$ бесконечно дифференцируемы на $\mathbb{R};$ найдены формулы для производных любого порядка этих функций.