Свойства средней временной выгоды для вероятностных моделей эксплуатируемых популяций

Рассматривается модель однородной популяции, заданная при отсутствии эксплуатации дифференциальным уравнением $\dot x =g(x).$ В каждый момент времени \linebreak $\tau_k~=~kd,$ где $d>0,$ $k=1,2,\ldots,$ из этой популяции извлекается некоторая случайная доля ресурса $\omega_k\in [0,1].$ Предполагаем, что можно остановить заготовку в случае, если ее доля окажется больше некоторого значения $u\in [0,1);$ тогда доля добываемого ресурса будет равна $\ell_k=\ell(\omega_k,u)=\min(\omega_k,u),$ $k=1,2,\ldots.$ Исследуется средняя временная выгода от добычи ресурса, которая равна нижнему пределу при $n\to\infty$ среднего арифметического количества ресурса, полученного за $n$ извлечений. Показано, что свойства данной характеристики связаны с наличием положительной неподвижной точки разностного уравнения $X_{k+1}=\varphi\bigl(d,(1-u)X_{k}\bigr),$ $k=1,2,\ldots,$ где $\varphi(t,x)$ — решение уравнения $\dot x=g(x),$ удовлетворяющее начальному условию $\varphi(0,x)=x.$ Получены условия существования предела и оценки средней временной выгоды, выполненные с вероятностью единица. Результаты работы проиллюстрированы на примерах эксплуатируемых однородных популяций, зависящих от случайных параметров.