Разрешение алгебро-дифференциального уравнения второго порядка в банаховом пространстве

Настоящая работа посвящена исследованию алгебро-дифференциального уравнения
\begin{equation*} A\frac{d^2u}{dt^2}=B\frac{du}{dt}+Cu(t)+f(t), \end{equation*}
где $A,$ $B,$ $C$ — замкнутые линейные операторы, действующие из банахова пространства $E_1$ в банахово пространство $E_2,$ с всюду плотными в $E_1$ областями определения. Оператор $A$ фредгольмов с нулевым индексом (далее, фредгольмов), функция $f(t)$ принимает значения в $E_2$; $t\in[0;T]$. Ядро оператора $A$ полагается одномерным. Для разрешения уравнения относительно производной применяется метод каскадной декомпозиции, заключающийся в пошаговом расщеплении уравнения и условий к соответствующим уравнениям и условиям в подпространствах меньших размерностей. Рассматриваются одношаговое и двухшаговое расщепления, получены теоремы о разрешимости уравнения. Теоремы применяются для получения условий существования решения задачи Коши. Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, решается однородная задача Коши с заданными операторными коэффициентами в пространстве $\mathbb{R}^2$. Для этого рассматривается разрешенное дифференциальное уравнение второго порядка в конечномерном пространстве $\mathbb{C}^m$
\begin{equation*} \frac{d^2u}{dt^2}=H\frac{du}{dt}+Ku(t). \end{equation*}
Исследуется характеристическое уравнение $M(\lambda):=\det(\lambda^2 I-\lambda H-K)=0$. Для многочлена $M(\lambda)$ в случае $m=2,$ $m=3$ получены формулы Маклорена. Определено общее решение уравнения в случае единичной алгебраической кратности характеристического уравнения.