О существовании непрерывных селекций многозначного отображения, связанного с задачей минимизации функционала

Рассматривается параметрическая задача вида
$$f(x,y)\to \inf, \ \ x\in M,$$
где $M$ — выпуклое замкнутое подмножество гильбертова или равномерно выпуклого пространства $X,$ a $y$ — параметр, принадлежащий топологическому пространству $Y.$ Для этой задачи определено множество $\epsilon$-оптимальных точек:
$$ a_{\epsilon}(y)=\{ x\in M \,|\, f(x,y)\leq \inf_{x\in M}f(x,y)+\epsilon\},$$
где $\epsilon>0.$ Обсуждаются условия полунепрерывности и непрерывности многозначного отображения $a_{\epsilon}.$ С использованием методов проекции градиентов и линеаризации получены теоремы о существовании непрерывных селекций многозначного отображения $a_{\epsilon}.$ Одними из основных предположений этих теорем являются выпуклость функционала $f(x,y)$ по переменной $x$ на множестве $M$ и непрерывность производной $f'_x(x,y)$ на множестве $M\times Y.$ Приводятся примеры, подтверждающие существенность принятых предположений, а также примеры, иллюстрирующие применение полученных утверждений к оптимизационным задачам.