|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье)
Научные статьи
О свойствах решений дифференциальных систем, моделирующих электрическую активность головного мозга
А. С. Ланинаa, Е. А. Плужниковаba a ФГБОУ ВО «Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»
b ФГБУН «Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова» Российской академии наук
Аннотация:
Исследуется модель типа Хопфилда динамики электрической активности головного мозга, представляющая собой систему дифференциальных уравнений вида
\begin{equation*}
\dot{v}_{i}= -\alpha v_{i}+\sum_{j=1}^{n}w_{ji}f_{\delta}(v_{j})+I_{i}(t), \ \ \, i=\overline{1,n}, \ \ \, t\geq 0.
\end{equation*}
Параметры модели считаются заданными: $\alpha>0,$ $w_{ji}>0$ при $i\neq j$ и $w_{ii}=0,$ $I_{i}(t)\geq 0.$ Функция активации $f_{\delta}$ ($\delta$ — время перехода нейрона в состояние активности) рассмотрена двух типов:
$$
\delta= 0 \ \Rightarrow f_{0}(v)=\left\{
\begin{array}{ll}
0, & v\leq\theta,\\
1, & v>\theta;
\end{array} \right. \ \ \ \ \ \ \delta> 0 \ \Rightarrow \ f_{\delta}(v)=\left\{
\begin{array}{ll}
0, & v\leq \theta,\\
{\delta}^{-1}( v-\theta), & \theta < v \leq \theta+\delta,\\
1, & v>\theta+\delta.
\end{array} \right.$$
В случае $\delta> 0$ (функция $f_{\delta}$ непрерывна) решение задачи Коши для рассматриваемой системы существует, единственно и является неотрицательным при неотрицательных начальных значениях. В случае $\delta= 0$ (функция $f_{0}$ разрывна в точке $\theta$) показано, что во множестве решений задачи Коши есть наибольшее и наименьшее решения, получены оценки решений и приведен пример системы, для которой задача Коши имеет бесконечное множество решений. В этом исследовании используются методы анализа отображений частично упорядоченных пространств.
Также исследуется уточненная модель Хопфилда, в которой учитывается время движения электрического импульса от одного нейрона к другому, и поэтому модель представляет собой систему дифференциальных уравнений с запаздыванием. Для такой системы и в случае непрерывной, и в случае разрывной функции активации показано, что задача Коши однозначно разрешима, получены оценки решения и описан алгоритм аналитического нахождения решения.
Ключевые слова:
нейронная сеть, дифференциальное уравнение с разрывной правой частью, запаздывание, задача Коши, существование решения, верхнее и нижнее решения, отображения частично упорядоченных пространств.
Поступила в редакцию: 14.06.2022
Образец цитирования:
А. С. Ланина, Е. А. Плужникова, “О свойствах решений дифференциальных систем, моделирующих электрическую активность головного мозга”, Вестник российских университетов. Математика, 27:139 (2022), 270–283
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/vtamu264 https://www.mathnet.ru/rus/vtamu/v27/i139/p270
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 77 | PDF полного текста: | 21 | Список литературы: | 13 |
|