Об устойчивости и непрерывной зависимости от параметра множества точек совпадения двух отображений, действующих в пространство с расстоянием

Рассматривается задача о точках совпадения двух отображений $\psi,\varphi,$ действующих из метрического пространства $(X,\rho)$ в пространство $(Y,d),$ в котором расстояние $d$ обладает лишь одним из свойств метрики: $d(y_1,y_2)=0$ $\Leftrightarrow$ $y_1=y_2,$ и не предполагается ни симметричным, ни удовлетворяющим неравенству треугольника. Исследуется вопрос о корректности уравнения
$$\psi(x)=\varphi(x),$$
определяющего точку совпадения. Показано, что если $x=\xi$ — решение этого уравнения, то для любой последовательности $\alpha_i$-накрывающих отображений $\psi_i :X\to Y$ и любой последовательности $\beta_i$-липшицевых отображений $\varphi_i :X\to Y,$ $\alpha_i> \beta_i \geq 0,$ в случае сходимости $d(\varphi_i(\xi),\psi_i(\xi))\to 0$ уравнение $\psi_i(x)=\varphi_i(x)$ при любом $i$ обладает решением $x=\xi_i$ таким, что $\rho(\xi_i,\xi)\to 0.$
Далее в статье исследуется зависимость от параметра $t$ — элемента топологического пространства $T$ множества $ \mathrm{Coin}(t)$ точек совпадения отображений $\psi(\cdot,t),\varphi(\cdot,t):X\to Y.$ В предположении, что первое из этих отображений является $\alpha$-накрывающим, второе — $\beta$-липшицевым, получено утверждение о полунепрерывности сверху, полунепрерывности снизу и непрерывности многозначного отображения $ \mathrm{Coin}:T\rightrightarrows X.$