Антипериодическая краевая задача для неявного обыкновенного дифференциального уравнения

В статье исследуется антипериодическая краевая задача для неявного нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения
$$f(t,x,\dot x)=0, \quad x(0)+x(\tau)=0.$$
Предполагается, что отображение $f:\mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^k$, определяющее рассматриваемое уравнение, является гладким и удовлетворяет условию равномерной невырожденности первой производной
$$ \inf \bigl\{ {\rm cov} f'_v (t,x,v):\, (t,x,v)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \bigr\}>0. $$
Здесь ${\rm cov} A$ — константа Банаха линейного оператора $A.$ Предположение равномерной невырожденности выполняется, в частности, для отображения $f,$ определяющего нормальное обыкновенное дифференциальное уравнение. Для неявных уравнений получены достаточные условия существования решения антипериодической краевой задачи и найдены оценки решений. Сформулированы следствия для нормальных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для доказательства основного результата исходное неявное уравнение сводится к нормальному дифференциальному уравнению за счет применения нелокальной теоремы о неявной функции. Затем в работе доказывается вспомогательное утверждение о разрешимости уравнения $x+\psi(x)=0,$ представляющее собой аналог теоремы Брауэра о неподвижной точке. Показывается, что отображение $\psi,$ ставящее произвольной начальной точке $x_0$ значение решения задачи Коши в точке $\tau,$ корректно определено и удовлетворяет предположениям вспомогательного утверждения, что доказывает существование решения исходной краевой задачи.