Свойства одного матрично-дифференциального оператора высокого порядка

В статье рассматривается линейный матрично-дифференциальный оператор $n$-го порядка вида $\mathbb{A}^n.$ Устанавливается операторный аналог бинома Ньютона, с помощью которого для операторов $\mathbb{A}^n$ и $(\tilde{\mathbb{A}}^{-1})^n$ получено аналитическое выражение. Приводится лемма о решении линейного уравнения, которая применяется при исследовании абстрактной задачи Коши для алгебро-дифференциального уравнения в банаховом пространстве с кубом оператора $A$ при старшей производной. Оператор $A$ обладает свойством иметь $0$ нормальным собственным числом. Методом каскадного расщепления уравнения и условий на, соответственно, уравнения и условия в подпространствах меньших размерностей определены условия существования, единственности решения, и найдено это решение. Как приложение, полученные результаты при $n=3$ применяются при решении смешанной задачи для уравнения в частных производных четвертого порядка. К таким уравнениям относится обобщенное волновое уравнение на мелкой воде, обобщенное уравнение Лиувилля.