О проблеме существования неподвижной точки обобщенно сжимающего многозначного отображения

Обсуждается остающийся до сих пор не решенным поставленный в [S. Reich, Some Fixed Point Problems, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., 57:8 (1974), 194–198] вопрос о существовании в полном метрическом пространстве $X$ неподвижной точки обобщенно сжимающего многозначного отображения $\Phi:X \rightrightarrows X,$ имеющего замкнутые значения $\Phi(x)\subset X$ при всех $x \in X.$ Обобщенное сжатие понимается как естественное распространение определения Браудера–Красносельского этого свойства на многозначные отображения:
\begin{equation*} \label{Sha} \forall x,u \in X \ \ h\bigl(\varphi(x),\varphi(u)\bigr) \leq \eta\bigl(\rho(x,u)\bigr), \end{equation*}
где функция $\eta: \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}_+ $ возрастает, непрерывна справа и для всех $d > 0$ выполнено $\eta(d)<d$ (символом $h(\cdot,\cdot)$ обозначено расстояние по Хаусдорфу между множествами в пространстве $X\!$). Приводится описание полученных в литературе утверждений, решающих проблему С. Райха при дополнительных требованиях на обобщенное сжатие $\Phi.$ В простейшем случае, когда многозначное обобщенно сжимающее отображение $\Phi$ действует в $\mathbb{R},$ без каких-либо дополнительных условий доказано существование у этого отображения неподвижной точки.