О задаче Коши для неявных дифференциальных уравнений высших порядков

Статья посвящена исследованию неявных дифференциальных уравнений на основе утверждений о накрывающих отображениях произведений метрических пространств. Сначала рассмотрена система уравнений
\begin{equation*} \Phi_i(x_i,x_1,x_2,\ldots,x_n)=y_i, \ \ \ i=\overline{1,n}, \end{equation*}
где $\Phi_i: X_i \times X_1 \times \ldots \times X_n \to Y_i,$ $y_i \in Y_i,$ $X_i$ и $Y_i$ — метрические пространства, $i=\overline{1,n}.$ Предполагается, что отображение $\Phi_i$ является накрывающим по первому аргументу и липшицевым по каждому из остальных аргументов начиная со второго. Получены условия разрешимости этой системы и оценки расстояния от произвольного заданного элемента $x_0 \in X$ до множества решений. Далее в статье получено утверждение о действии оператора Немыцкого в пространствах суммируемых функций и установлена взаимосвязь свойств накрывания оператора Немыцкого и накрывания порождающей его функции. Перечисленные результаты применены к исследованию системы неявных дифференциальных уравнений, для которой доказано утверждение о локальной разрешимости задачи Коши с ограничениями на производную решения. Такие задачи возникают, в частности, в моделях управляемых систем. В заключительной части статьи аналогичными методами исследовано дифференциальное уравнение $n$-го порядка, не разрешенное относительно старшей производной. Получены условия существования решения задачи Коши.