Homogeneous spaces yielding solutions of the $k[S]$-hierarchy and its strict version

Иерархия $k[S]$ и ее строгая версия представляют собой две деформации коммутативной алгебры $k[S],$ с $k=\mathbb{R}$ или $k = \mathbb{C},$ в пространстве $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ матриц, где $S$ — матрица оператора сдвига. В работе показано, что обе деформации соответствуют сопряжению $k[S]$ элементами подходящей группы. При этом одевающая матрица деформации единственна в случае иерархии $k[S]$ и определяется с точностью до умножения на единичную в случае строгой иерархии $k[S].$ Эта единственность позволяет непосредственно доказать, что форма Лакса иерархии $k[S]$ равносильна семейству уравнений Сато–Вильсона. Аналог уравнений Сато–Вильсона для строгой иерархии $k[S]$ всегда приводит к уравнениям Лакса этой иерархии. Эти системы эквивалентны, если окружение, в котором рассматривается иерархия, разрешимо по Коши в одномерном пространстве. В работе также представлена банахова группа Ли $G(\mathcal{S}_{2})$ и две ее подгруппы $ P_{+}(H)$ и $ U_{+}(H),$ где $U_{+}(H) \subset P_{+}(H),$ такие, что однородные пространства $G(\mathcal{S}_{2})/ P_{+}(H)$ и $G(\mathcal{S}_{2})/U_{+}(H)$ дают решения иерархии $k[S]$ и ее строгой версии, соответственно.