Символы в квантовании Березина для операторов представления

основе квантования по Березину на многообразии $M$ лежит сопоставление, которое оператору $A$ из некоторого класса соотносит пару функций $F$ и $F^{\natural}$, определенных на $M.$ Эти функции называются ковариантным и контравариатным символами оператора $A.$ Мы интересуемся однородным пространством $M=G/H$ и классами операторов, связанными с теорией представлений. Самая алгебраическая версия квантования – мы называем ее полиномиальным квантованием — получается, когда операторы принадлежат алгебре операторов, отвечающих в данном представлении $T$ группы $G$ элементам $X$ универсальной обертывающей алгебры ${\rm Env}\, \mathfrak g$ алгебры Ли $\mathfrak g$ группы $G.$ В этом случае символы оказываются многочленами на алгебре Ли $\mathfrak g.$
В настоящей статье мы предлагаем новую тему в квантовании Березина на $G/H:$ в качестве исходного класса операторов мы берем операторы, отвечающие элементам самой группы $G$ в представлении $T$ этой группы.
В статье мы рассматриваем два примера, в них однородные пространства — это пара-эрмитовы пространства ранга 1 и 2:
a) $G={\rm SL}(2,\mathbb R),$ $H$ — подгруппа диагональных матриц, $G/H$ — однополостный гиперболоид в $\mathbb R^3;$
b) $G$ — псевдоортогональная группа ${\rm SO}_0 (p,q),$ подгруппа $H$ накрывает с конечной кратностью группу ${\rm SO}_0 (p-1,q-1) \times {\rm SO}_0 (1,1);$ пространство $G/H$ (псевдо-грассманово многообразие) есть орбита в алгебре Ли $\mathfrak g$ группы $G.$\vspace{1ex}