О теореме Чаплыгина для неявного дифференциального уравнения $n$-го порядка

Рассматривается задача Коши для неявного дифференциального уравнения $n$-го порядка
$$g(t,x,\dot{x},\ldots,x^{(n)})= 0, \ \ t\in [0,T], \ \ x(0) =A.$$
Предполагается, что $A=(A_0,\ldots, A_{n-1} )\in \mathbb{R}^{n},$ функция $g:[0,T]\times \mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}$ измерима по первому аргументу $t\in [0,T],$ а при фиксированном $t$ функция $g(t,\cdot):\mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}$ непрерывна справа и монотонна по каждому из первых $n$ аргументов, а по последнему $n+1$-му аргументу непрерывна. Также предполагается, что для некоторых достаточно гладких функций $\eta,\nu$ справедливы неравенства
\begin{align*} & \nu^{(i)}(0) \geq A_i \geq {\eta}^{(i)}(0), \ \, i=\overline{0,n-1}, \ {\nu}^{(n)}(t) \geq {\eta}^{(n)}(t), \ \, t\in [0,T];\\ & g\big(t,\nu(t),\dot{\nu}(t),\ldots,\nu^{(n)}(t)\big)\geq 0, \ g\big(t,\eta(t),\dot{\eta}(t),\ldots,\eta^{(n)}(t)\big)\leq 0, \ t\in [0,T]. \end{align*}
Получены достаточные условия разрешимости и оценки решений рассматриваемой задачи Коши, кроме того, при выполнении этих условий множество решений, удовлетворяющих неравенствам ${\eta}^{(n)}(t) \leq {x}^{(n)}(t) \leq {\nu}^{(n)}(t),$ не пусто, и в этом множестве содержатся решения с наибольшей и наименьшей $n$-й производной. Это утверждение аналогично классической теореме Чаплыгина о дифференциальном неравенстве. Метод доказательства использует результаты о разрешимости уравнений в частично упорядоченных пространствах. Приведены примеры применения полученных результатов к исследованию неявных дифференциальных уравнений второго порядка.