Максимальные сцепленные системы на семействах измеримых прямоугольников

Рассматриваются сцепленные и максимальные сцепленные системы (МСС) на $\pi$-системах измеримых (в широком смысле) прямоугольников ($\pi$-система есть семейство множеств, замкнутое относительно конечных пересечений). Структуры в виде семейства измеримых прямоугольников используются в теории меры и теории вероятностей и приводят обычно к полуалгебре подмножеств декартова произведения. В настоящей работе пространства-сомножители предполагаются оснащенными $\pi$-системами с «нулем» и «единицей», что, в частности, может соответствовать стандартной измеримой структуре в виде полуалгебры, алгебры или $\sigma$-алгебры множеств. В общем случае семейство измеримых прямоугольников (измеримость отождествляется с принадлежностью к $\pi$-системе) само образует $\pi$-систему множества-произведения, что позволяет рассматривать МСС на данной $\pi$-системе (измеримых прямоугольников). Устанавливается следующее основное свойство: во всех рассматриваемых вариантах $\pi$-системы измеримых прямоугольников МСС на произведении исчерпываются произведениями МСС на пространствах-сомножителях. При этом в случае бесконечного произведения, наряду с традиционным, рассматривается «ящичный» вариант, допускающий естественную аналогию с базой ящичной топологии. Для случая произведения двух широко понимаемых измеримых пространств установлено одно свойство гомеоморфности, касающееся оснащений топологиями стоуновского типа.