О новых свойствах рекуррентных движений и минимальных множеств динамических систем

В статье приведено новое свойство рекуррентных движений динамических систем. В компактном метрическом пространстве данное свойство устанавливает связь между движениями общего вида и рекуррентными движениями. Кроме того, это свойство устанавливает весьма простой характер поведения рекуррентных движений, что органично дополняет классическое определение, приведенное в монографии [В. В. Немыцкий, В. В. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. URSS, М., 2004].
Впервые указанное выше новое свойство рекуррентных движений фактически было анонсировано в более ранней статье авторов [А. П. Афанасьев, С. М. Дзюба. О рекуррентных траекториях, минимальных множествах и квазипериодических движениях динамических систем // Дифференц. уравнения. 2005, т. 41, № 11, с. 1469–1474]. В этой же статье приведено краткое доказательство соответствующей теоремы. Это доказательство оказалось слишком схематичным. Кроме того, оно (доказательство) содержит ряд очевидных пробелов.
Некоторое время назад выяснилось, что на основании данного нового свойства можно показать, что в компактном метрическом пространстве $\alpha$- и $\omega$-предельные множества каждого движения являются минимальными. Из этого следует, что в компактном метрическом пространстве каждое положительно (отрицательно) устойчивое по Пуассону движение является рекуррентным.
Значение этих результатов очевидно. Они ясно указывают причину того, что в настоящее время отсутствуют критерии существования устойчивых по Пуассону нерекуррентных движений. Более того, они показывают причину того, что известные попытки построения устойчивых по Пуассону нерекуррентных движений на компактных замкнутых многообразиях оказались неудачными; во всяком случае примеров таких движений нет.
Ключевым для нового свойства минимальных множеств является указанное новое свойство рекуррентных движений. Поэтому в настоящей статье мы приводим полное и подробное доказательство этого свойства.
Впервые результаты настоящей работы были доложены 28 января 2020 г. на семинаре Добрушинской математической лаборатории в ИППИ РАН им. А. А. Харкевича.