Вольтерровы функциональные уравнения в проблеме устойчивости существования глобальных решений распределенных управляемых систем

Ранее автором была предложена довольно общая форма описания управляемых начально-краевых задач (УНКЗ) с помощью вольтерровых функциональных уравнений (ВФУ) вида
$$ z(t)=f\left(t,A[z](t),v(t)\right) ,\quad t\equiv \{t^{1},\ldots,t^{n}\} \in \Pi\subset\mathbf{R}^n ,\quad z\in L_p^m \equiv \left(L_p\left( \Pi \right)\right)^m, $$
где $f(.,.,.):\Pi \times \mathbf{R}^l\times \mathbf{ R}^s\rightarrow \mathbf{ R}^m;$ $v(.)\in \mathcal{D}\subset L_k^s$ — управление; $A:L_p^m\rightarrow L_q^l$ — линейный оператор, вольтерров на некоторой системе $T$ подмножеств $\Pi $ в том смысле, что для любого $H\in T$ сужение $\left. A\left[ z\right] \right| _H$ не зависит от значений $z| _{\Pi\backslash H};$ $p,q,k\in \left[ 1,+\infty \right] .$ Это определение вольтерровости — многомерное обобщение известного определения А. Н. Тихонова функционального оператора типа Вольтерра. К подобным уравнениям естественным образом (обращением главной части) приводятся разнообразные УНКЗ для нелинейных эволюционных уравнений (параболических, гиперболических, интегро-дифференциальных, с разного рода запаздываниями и др.). Переход к эквивалентному ВФУ-описанию УНКЗ адекватен многим проблемам распределенной оптимизации. В частности, автором была предложена опирающаяся на это описание схема получения конструктивных достаточных условий устойчивости (при возмущении управления) существования глобальных решений (УСГР) УНКЗ. Схема использует продолжение локальных решений ВФУ (то есть решений на множествах $H\in T$) вдоль упорядоченной по вложению конечной цепочки множеств $\{H_{1}\subset H_{2}\subset\ldots\subset H_{\mathbf{k}-1}\subset H_{\mathbf{k}}\equiv\Pi\}$ системы $T.$ При этом используется опирающаяся на принцип сжимающих отображений специальная теорема существования локальных решений. В случае $p=q=k=\infty$ при естественных предположениях возможность применения этого принципа обеспечивается тем, что оператор правой части $F_{v}[z\left(.\right)]\left(t\right)\equiv f\left(t,A[z](t),v(t)\right)$ удовлетворяет операторному условию Липшица с квазинильпотентным «оператором Липшица». Это позволяет, пользуясь хорошо известными результатами функционального анализа, ввести в пространстве $L_{\infty}^{m}(H)$ такую эквивалентную обычной норму, в которой оператор правой части будет сжимающим. В общем случае $1\leq p,q,k \leq \infty,$ охватывающем существенно более широкий круг УНКЗ, оператор правой части подобному операторному условию Липшица, вообще говоря, не удовлетворяет. В этом случае введение требуемой для применения принципа сжимающих отображений эквивалентной нормы пространства $L_p^m(H)$ обеспечивает доказанная ранее автором теорема об эквивалентной норме, опирающаяся на введенное им понятие суперравностепенной квазинильпотентности семейства линейных операторов, действующих в банаховом пространстве. В данной статье показано, как эта теорема может быть применена для получения достаточных условий УСГР ВФУ в указанном случае.