Об основном свойстве комплексной операторной экспоненциальной функции комплексного операторного аргумента

В банаховом пространстве $E$ рассматриваются операторные функции $e^{A}$, $\sin B$, $\cos B$ операторного аргумента из банаховой алгебры ограниченных линейных операторов, действующих из $E$ в $E$. Для тригонометрических операторных функций $\sin B$, $\cos B$ выводятся формулы для синуса и косинуса суммы аргументов, аналогичные скалярному случаю. При доказательстве этих формул используется произведение рядов с операторными членами в форме Коши. Приводится основное операторное тригонометрическое тождество. Для комплексной операторной экспоненциальной функции $e^{Z}$ операторного аргумента $Z$ из банаховой алгебры комплексных операторов доказывается с помощью формул для косинуса и синуса суммы основное свойство показательной функции. Рассматриваются операторные функции $e^{At}$, $\sin Bt$, $\cos Bt$, $e^{Zt}$ действительного аргумента $t \in ( - \infty ,\infty )$. На эти функции переносятся факты, изложенные для операторных функций операторного аргумента. В частности, приводится групповое свойство операторной экспоненты $e^{Zt}$. Указывается правило дифференцирования функции $e^{Zt}$. Отмечается, что перечисленные выше операторные функции действительного аргумента $t$ используются при построении общего решения линейного дифференциального уравнения $n$-го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами в банаховом пространстве.