О распространении теоремы Чаплыгина на дифференциальные уравнения нейтрального типа

Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение $\dot{x}((g(t))=f\big(t,x(h(t))\big), \ t\in [0,1],$ где функция $f$ удовлетворяет условиям Каратеодори, но возможно не обеспечивает действие соответствующего оператора суперпозиции из пространства существенно ограниченных функций в пространство суммируемых функций. Вследствие этого, к интегральному уравнению, которое равносильно задаче Коши, не удается применить стандартные результаты анализа, в частности, теоремы о неподвижной точке. Используемый в работе подход к исследованию разрешимости такого уравнения основан не на теоремах о неподвижной точке, а на полученных в [A.V. Arutyunov, E.S. Zhukovskiy, S.E. Zhukovskiy. Coincidence points principle for mappings in partially ordered spaces // Topology and its Applications, 2015, v. 179, № 1, 13–33] результатах о точках совпадения отображений частично упорядоченных пространств. Использование этих результатов позволило в данной работе получить утверждение о существовании и оценке решения задачи Коши для рассматриваемого функционально-дифференциального уравнения, аналогичное известной теореме Чаплыгина. Основными предположениями в доказанном утверждении являются неубывание функции $f(t,\cdot)$ и существование двух абсолютно непрерывных функций $v,w,$ удовлетворяющих при п.в. $t\in [0,1]$ неравенствам $\dot{v}(g(t))\geq f\big(t,v(h(t))\big), $ $\dot{w}(g(t))\leq f\big(t,w(h(t))\big).$ Приведен пример применения полученного утверждения.