Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения в банаховом пространстве в случае комплексных характеристических операторов

В банаховом пространстве изучается линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) $n$-го порядка с постоянными ограниченными операторными коэффициентами. Нахождение общего решения ЛНДУ сводится к построению общего решения соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ). Характеристическое операторное уравнение для ЛОДУ рассматривается в банаховой алгебре комплексных операторов. В общем случае, когда среди корней характеристического операторного уравнения имеются как действительные, так и комплексные операторные корни, указывается $n$-параметрическое семейство решений ЛОДУ. При построении этого семейства используются операторные функции $e^{A t},$ $\sin Bt,$ $\cos Bt$ действительного аргумента $t \in {\,[0 ,\infty )}.$ Выясняются условия, при которых данное семейство решений является общим решением ЛОДУ. В случае, когда характеристическое операторное уравнение имеет простые действительные операторные корни и простые чисто мнимые операторные корни, указан конкретный вид таких условий. В частности, эти корни должны коммутировать с операторными коэффициентами ЛОДУ. Кроме того, они должны коммутировать между собой. При доказательстве соответствующего утверждения применяется операторно-векторное правило Крамера решения систем линейных векторных уравнений в банаховом пространстве.