Перечисление проективно конгруэнтных симметричных матриц

Исследуются проективные пространства над локальным кольцом $R=2R$ с главным максимальным идеалом $ J ,$ $1+J\subseteq R^{*2}.$ Квадратичные формы и соответствующие им симметричные матрицы $A$ и $B$ проективно конгруэнтны, если существуют $k \in R^{*}$ и $U \in GL(n,R)$ такие, что $kA = UBU^T.$ В случае $k=1$ квадратичные формы (соответственно, симметричные матрицы) называем конгруэнтными. Решение задачи перечисления конгруэнтных и проективно конгруэнтных классов квадратичных форм основано на выявлении (единственного) нормального вида соответствующих им симметричных матриц и тесно связана с теорией схем квадратичных форм. Над локальным кольцом $R,$ удовлетворяющим условиям $R^{*}/R^{*2}=\lbrace 1, -1, p,-p \rbrace$ и $D(1,1)=D(1,p)=\lbrace 1,p \rbrace,$ $D(1,-1)=D(1,-p)=\lbrace 1,-1,p,-p \rbrace,$ выявлен (единственный) нормальный вид конгруэнтных симметричных матриц. Для случая, когда максимальный идеал является нильпотентным, найдено число классов конгруэнтных и проективно конгруэнтных симметричных матриц.