On positivity of the Green function for Poisson problem for a linear functional differential equation

Для задачи Пуассона
\begin{equation*} -\Delta u + p(x)u - \int\limits_\Omega u(s)\,r(x,ds) = \rho f, \quad u\big|_{\Gamma(\Omega)} =0 \end{equation*}
показана эквивалентность положительности функции Грина и других классических свойств. Здесь $\Omega$ – открытое множество в $\mathbb{R}^n$, и $\Gamma(\Omega)$ – граница $\Omega$. Для почти всех $x\in\Omega$, $r(x,\cdot)$ – мера, удовлетворяющая некоторому условию симметрии. В частности, это уравнение охватывает интегро-дифференциальное уравнение и уравнение
$$ -\Delta u + p(x)u(x) - \sum_{i=1}^{m}p_i(x)u(h_i(x)) = \rho f, $$
где $h_i\colon \Omega\to\Omega$ – измеримое отображение.