Асимптотическое разложение решения сингулярно возмущенной задачи оптимального управления с гладкими ограничениями на управление и с интегральным выпуклым критерием качества, терминальная часть которого зависит только от медленных переменных

Рассматривается задача оптимального управления с интегральным выпуклым критерием качества, зависящим только от медленных переменных для линейной системы с быстрыми и медленными переменными в классе кусочно-непрерывных управлений с гладкими ограничениями на управление
$$ \begin{cases} \dot{x}_{\varepsilon} = A_{11}x_{\varepsilon}+A_{12}y_{\varepsilon}+B_{1}u, & t\in[0,T], \qquad \|u\|\leqslant 1,\\ \varepsilon\dot{y}_{\varepsilon} = A_{21}x_{\varepsilon}+A_{22}y_{\varepsilon}+B_{2}u, & x_{\varepsilon}(0)=x^{0},\quad y_{\varepsilon}(0)=y^{0},\\ J_\varepsilon(u):= \varphi(f(x_{\varepsilon}(T)) + \int_0^T \|u(t)\|^2\,dt\rightarrow \min, \end{cases} $$
где $x_\varepsilon\in\mathbb{R}^{n}$, $y_\varepsilon\in\mathbb{R}^{m}$, $ u\in\mathbb{R}^{r}$; $A_{ij}$, $B_{i}$, $i,j=1,2$ — постоянные матрицы соответствующей размерности, а $\varphi(\cdot)$ — непрерывно дифференцируемая на $\mathbb{R}^{n}$ строго выпуклая и кофинитная функция в смысле выпуклого анализа. В общем случае для такой задачи принцип максимума Понтрягина является необходимым и достаточным условием оптимальности. Существует единственный начальный вектор сопряженного состояния $l_\varepsilon$, определяющий вид оптимального управления. Доказано, что в случае конечного числа точек смены вида управления асимптотика вектора $l_\varepsilon$ имеет степенной характер.