Optimal control of the Navier — Stokes system with a space variable in a network-like domain

Проведено исследование задачи оптимального управления эволюционной дифференциальной системой Навье — Стокса, рассматриваемой в пространствах Соболева, элементы которых — это функции с носителями в $n$-мерной сетеподобной области. Такая область состоит из конечного числа подобластей, взаимно примыкающих определенными частями поверхностей своих границ по типу графа. Для функций, являющихся элементами указанных пространств, представлены условия существования следов на поверхностях примыкания и рассмотрены условия примыкания подобластей, которым эти функции удовлетворяют. В прикладных вопросах анализа процессов переноса сплошных сред условия примыкания описывают закономерности протекания потоков жидкостей через границы примыкающих подобластей. Приведены результаты двух основных вопросов исследования: слабая разрешимость начально-краевой задачи для системы Навье — Стокса и получение условий существования слабого решения этой задачи; формирование и решение задач оптимального управления разного типа системой Навье — Стокса. Основополагающим подходом анализа слабой разрешимости начально-краевой задачи является редукция ее к дифференциально-разностной (полудискретизация исходной системы по временной переменной) и последующее использование априорных оценок для слабых решений полученных краевых задач. Такие оценки используются для доказательства теоремы существования слабого решения исходной дифференциальной системы и указывают путь фактического построения этого решения. Представлен универсальный подход к решению задач оптимального распределенного и стартового управления эволюционной системой Навье — Стокса. Последнее существенно расширяет возможности анализа нестационарных сетеподобных процессов прикладной гидродинамики (например, процессов транспортировки разного типа жидкостей по сетевым или магистральным трубопроводам) и оптимального управления этими процессами.