Применение неявного метода Эйлера для дискретизации некоторых классов нелинейных систем

Исследуется проблема сохранения устойчивости при дискретизации некоторых классов систем нелинейных дифференциальных уравнений. Рассматриваются системы Персидского, системы Лурье непрямого управления и системы, правые части которых имеют каноническую структуру. Предполагается, что нулевые решения этих систем глобально асимптотически устойчивы. Определяются условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость нулевых решений соответствующих разностных систем. Ранее такие условия были установлены для случая, когда дискретизация проводилась с помощью явного метода Эйлера. В данной работе разностные схемы строятся на основе неявного метода Эйлера. Для полученных дискретных систем доказаны теоремы о локальной и глобальной асимптотической устойчивости, выведены оценки времени переходных процессов. Для систем с канонической структурой правых частей на основе подхода В. И. Зубова предложена модифицированная неявная вычислительная схема, обеспечивающая согласование скорости сходимости решений к началу координат для дифференциальной и соответствующей разностной систем. Показано, что неявные вычислительные схемы могут гарантировать сохранение асимптотической устойчивости при менее жестких ограничениях на шаг дискретизации и правые части рассматриваемых систем по сравнению с ограничениями, полученными с использованием явного метода. Приводится пример, иллюстрирующий установленные теоретические выводы.