The method of penalty functions in the analysis of optimal control problems of Navier — Stokes evolutionary systems with a spatial variable in a network-like domain

Изучается эволюционная дифференциальная система Навье — Стокса, используемая при математическом описании эволюционных процессов транспортировки разного типа жидкостей по сетевым или магистральным трубопроводам. Система Навье — Стокса рассматривается в пространствах Соболева, элементы которых — функции с носителями на $n$-мерных сетеподобных областях. Эти области есть совокупность конечного числа взаимно не пересекающихся подобластей, соединенных друг с другом частями поверхностей своих границ по типу графа (в приложениях: местах ветвления трубопроводов). Обсуждаются два основных вопроса анализа: слабая разрешимость начально-краевой задачи для системы Навье — Стокса и оптимальное управление этой системой. Основными методами исследования слабой разрешимости являются полудискретизация исходной системы по временной переменной, т. е. редукция дифференциальной системы к дифференциально-разностной, и использование априорных оценок для слабых решений краевых задач при доказательстве теоремы существования решения исходной дифференциальной системы. Для задачи оптимального управления вводятся минимизирующий функционал (функция штрафа) и аппроксимирующее его семейство вспомогательных функционалов с параметрами, которые характеризуют штраф за невыполнение уравнений состояния системы. При этом вводится специальное гильбертово пространство, элементами которого являются пары функций, описывающих состояние системы и управляющие воздействия. Доказывается сходимость последовательности таких функций к оптимальному состоянию системы и ему соответствующему оптимальному управлению. Последнее существенно расширяет возможности анализа стационарных и нестационарных сетеподобных процессов гидродинамики и оптимального управления ими.