Stabilization of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph

В многочисленных приложениях из-за сложности математических моделей приходится отказываться от использования обыкновенных дифференциальных уравнений в пользу рассмотрения эволюционных уравнений с частными производными. При этом чаще всего эволюционная задача изучается на конечном интервале изменения временной переменной. На практике, где можно решить задачу для произвольного конечного интервала изменения временной переменной, важно знать поведение решения, когда временная переменная стремится к бесконечности. Это связано с исследованием свойств стабилизации и устойчивости указанного решения. Именно такой случай является предметом изучения в настоящей работе: представлен анализ решения эволюционной системы с распределенными параметрами на графе при неограниченном возрастании временной переменной и связанный с ним вопрос о стабилизации решения. Изучая соответствующую начально-краевую задачу, мы выходим за рамки классических решений и обращаемся к слабым решениям задачи (т. е. проводим анализ начально-краевых задач в слабой постановке), отражающим более точно физическую сущность явлений и процессов. При этом выбор класса слабых решений, определяемого тем или иным функциональным пространством, обусловлен главным образом требованием сохранения теоремы существования и теоремы единственности на произвольном конечном интервале изменения временной переменной. В статье в основном применяются представление слабого решения в виде ряда (метод Фаедо–Галеркина со специальным базисом — системой собственных функций) и свойство компактности семейства приближенных решений (благодаря априорным оценкам).