Квадратичные и кубичные полиномы Вольтерра: идентификация и приложение

Центральная проблема при построении математической модели нелинейной динамической системы типа вход–выход в виде полинома Вольтерра $N$-го порядка заключается в идентификации ядер Вольтерра. В настоящее время предложены различные алгоритмы решения данной задачи. Как правило, при этом предполагается, что предварительно выполнена декомпозиция отклика динамической системы $y(t)$ на составляющие, обусловленные влиянием отдельных интегральных слагаемых. Проблема разделения, вообще говоря, инвариантна относительно конкретного семейства тестовых воздействий, а выбор амплитуд тестовых сигналов, используемых для идентификации ядер Вольтерра, связан с необходимыми условиями разрешимости соответствующих многомерных интегральных уравнений в специальных классах функций. В статье представлены теоремы существования решений двумерного и трехмерного интегральных уравнений Вольтерра I рода. Данный результат получен в терминах амплитуд тестовых сигналов, что позволит в дальнейшем снять произвол в выборе амплитуд при построении квадратичного и кубичного полиномов Вольтерра в случае, когда внешнее воздействие $x(t)=(x_1(t),x_2(t))^T$ есть вектор-функция времени. Приведены иллюстративные расчеты на примере эталонных динамических систем.