О диагональной устойчивости некоторых классов сложных систем с запаздыванием

В работе рассматривается проблема диагональной устойчивости нелинейных дифференциально-разностных систем. Изучаются некоторые классы сложных систем с запаздыванием и нелинейностями секторного типа. Предполагается, что эти системы описывают взаимодействие двумерных блоков с запаздыванием в связях между блоками. Анализируются два вида структуры связей. Для каждого вида находятся необходимые и достаточные условия существования диагональных функционалов Ляпунова–Красовского. Существование таких функционалов гарантирует асимптотическую устойчивость нулевых решений рассматриваемых систем для любого неотрицательного запаздывания и любых допустимых нелинейностей. Такие условия формулируются в терминах гурвицевости специальным образом построенных метцлеровых матриц. Предложенные подходы применяются для анализа устойчивости некоторых моделей популяционной динамики. Исследуются обобщенные модели Лотки–Вольтерра, состоящие из нескольких взаимодействующих пар типа хищник–жертва. С помощью прямого метода Ляпунова и диагональных функционалов Ляпунова–Красовского выводятся условия, при выполнении которых положения равновесия описываемых моделей асимптотически устойчивы в целом в положительном ортанте фазового пространства при любом неотрицательном запаздывании. Приводятся иллюстративный пример и результаты численного моделирования, демонстрирующие эффективность разработанных подходов.