Unique weak solvability of a nonlinear initial boundary value problem with distributed parameters in a netlike domain

В работе рассматривается достаточно широкий круг вопросов, относящихся к разрешимости начально-краевой задачи типа Навье–Стокса с распределенными параметрами на сетеподобной области ${\mathcal R}^{n} $ ($n\ge 2$). Развиваются идеи, представленные в работах авторов для случая $n=1$ (задачи с распределенными параметрами на графе), в направлении увеличения размерности $n$ и формируются условия корректности по Адамару изучаемой начально-краевой задачи. Общая схема исследования остается классической: выбирается функциональное пространство, в котором решается задача (пространство допустимых решений) и формируется специальный базис для него, строятся приближения решений задачи по методу Фаэдо–Галеркина, для них устанавливаются априорные оценки типа энергетических неравенств и на основе этих оценок показывается слабая компактность построенного семейства решений. С помощью необременительных дополнительных условий находится гладкость решения по временной переменной. Единственность слабого решения рассматривается для частного случая $n=2$, достаточно часто встречающегося на практике. Оценка для нормы слабого решения дает возможность установить непрерывную зависимость слабого решения от исходных данных задачи. Результаты, полученные таким путем, представляют интерес для приложений в области гидромеханики и смежных разделах механики сплошных сред, а именно, для анализа задач оптимального управления динамикой многофазных сред. Следует отметить, что используемые методы и подходы обладают достаточно большой общностью и применимы к широким классам нелинейных задач. Библиогр. 20 назв.