Об аппроксимации $B_\varphi$-сплайнами

Рассматриваются оценки приближения функции $u\in C^2(\alpha,\beta)$ с помощью биортогональной $B_\varphi$-сплайновой аппроксимации $\widetilde u$ первого порядка в неполиномиальном случае. Сплайновая сетка $\{x_j\}_{j\in\mathbb Z}$ бесконечна и определена на интервале $(\alpha, \beta)$ так, что $\lim_{j\to -\infty}x_j=\alpha$, $\lim_{j\to +\infty}x_j=\beta$. Координатные $B_\varphi$-сплайны получаются из аппроксимационных соотношений с помощью порождающей вектор-функции $\varphi=(\varphi_0,\varphi_1)^T$, абсолютная величина вронскиана компонент которой не меньше некоторой константы $c>0$. Применен метод интегрального представления остатка; последний существенно отличается от метода подобия, обычно используемого в случае полиномиальных сплайнов. В результате получены оценки приближения функции $u$ и ее производных, а именно норма $\|u^{(i)}-\widetilde u^{(i)}\|_{C[x_k,x_{k+1}]}$ оценивается произведением выражения $2c^{-1}(x_{k+1}-x_{k})^{2-i}$ на выражение
$$ \sup_{\xi,\eta\in [x_k,x_{k+1}]} |\det(\Phi(x_k),\Phi\,'(\xi),\Phi\,''(\eta))|, $$
где $\Phi(t)= (\varphi_0(t),\varphi_1(t),u(t))^T$, $i=0,1,2$. Эти оценки точны на компонентах порождающей вектор-функции $\varphi$. При $x_{k+1}-x_k\to 0$ написанный определитель стремится к линейному дифференциальному оператору второго порядка над функцией $u$, для которого фундаментальной системой решений соответствующего однородного уравнения являются компоненты вектор-функции $\varphi(t)$. Библиогр. 3 назв.