Об одном парадоксе в теоремах о методе Ньютона

Теорема Мысовских о сходимости метода Ньютона решения нелинейного уравнения в банаховом пространстве, использующая в формулировке оценку погрешности начального приближения, требует более сильного ограничения на характерный параметр, чем аналогичная теорема Мысовских об упрощенном методе Ньютона. Так как основной метод Ньютона использует больше информации на каждом шаге, чем упрощенный (значения производной на текущих итерациях вместо ее значения в начальном приближении), эти две теоремы образуют парадокс. Было неясно, то ли такова «природа вещей» или первая теорема недостаточно сильна. В скалярном случае оказалось, что ограничение на характерный параметр, обеспечивающее сходимость основного метода, можно ослабить так, что парадокс исчезнет. Показано также, что новое ограничение на характерный параметр не может быть ослаблено. Результаты верны как для оригинальных посылок первой теоремы Мысовских, так и для продвинутой версии, где заменяется максимум второй производной рассматриваемой функции на константу Липшица ее первой производной. Библиогр. 3 назв.