К вопросу о $D4$-модулях

$R$-модуль $M$ называется $D4$-модулем, если всякий раз, когда $M_1$ и $M_2$ являются прямыми слагаемыми $M$ с $M_1 +M_2 = M$ и $M_1 \cong M_2$, то $M_1\setminus M_2$ является прямым слагаемым $M$. Пусть $M = \oplus_{i \in I}M_i$ — прямая сумма подмодулей $M_i$ с $H_om(M_i; M_j) = 0$ для различных $i$, $j \in I$. Показано, что $M$ является $D4$-модулем тогда и только тогда, когда для каждого $i \in I$ модуль $M_i$ является $D4$-модулем. Это решает открытый вопрос о прямых суммах $D4$-модулей. Наш подход не зависит от решения, полученного недавно Д’Эсте, Кескином Тютюнджу и Трибаком.