Об экстремумах ПСИ-процессов и гауссовских пределов их нормированных независимых одинаково распределенных сумм

Под ПСИ-процессом - процессом пуассоновского случайного индекса, мы понимаем случайный процесс с непрерывным временем, полученный путем рандомизации дискретного времени случайной последовательности. Мы рассматриваем случай, когда рандомизация происходит посредством дважды стохастического пуассоновского процесса, то есть пуассоновского процесса со случайной интенсивностью. При условии существования второго момента стационарные ПСИ-процессы имеют ковариацию, совпадающую с преобразованием Лапласа случайной интенсивности. В данной статье мы получаем распределения для экстремумов одного ПСИ-процесса, выраженные в терминах преобразования Лапласа случайной интенсивности. Вторая задача, которую мы здесь решаем, - это сходимость максимума гауссовского предела нормированных сумм независимых одинаково распределенных стационарных ПСИ-процессов. Мы находим необходимые и достаточные условия, накладываемые на случайную интенсивность, чтобы подходящим образом центрированный и нормированный максимум этого гауссовского предела сходился по распределению к двойному показательному закону. При этом мы существенно используем тауберову теорему в форме В.Феллера и результаты монографии М. Лидбеттера, Г. Линдгрена, Х. Ротсена "Экстремумы случайных последовательностей и процессов" (1989).