Дополнение к неравенству Гельдера для кратных интегралов. I

Данная статья является первой частью работы, основной результат которой составляет утверждение о том, что если для функций $\gamma_1 \in L^{p_1} (\mathbb{R}^n), \ldots, \gamma_m \in L^{p_m}(\mathbb{R}^n)$, где $m \geqslant 2$ и числа $p_1, \ldots, p_m \in (1, +\infty]$ таковы, что $1/p_1 + \ldots + 1/p_m<1$ выполнено нерезонансное условие (понятие, введенное в работе автором для функций из пространств $L^{p} (\mathbb{R}^n), p \in (1, +\infty])$, $\sup_{a,b\in \mathbb{R}^n}|\int\limits_{[a,b]} \prod_{k=1}^m[\gamma_k(\tau) + \Delta\gamma_k(\tau)]d\tau|\leqslant C\prod_{k=1}^m||\gamma_k + \Delta\gamma_k||_{L_{h_k}^{p_k}(\mathbb{R}^n)}$, где $[a,b]$ - $n$-мерный параллелепипед, константа $C>0$ не зависит от функций $\Delta\gamma_k\in L_{h_k}^{p_k}(\mathbb{R}^n)$, а $L_{h_k}^{p_k}(\mathbb{R}^n) \in L^{p_k}(\mathbb{R}^n)$, $1\leqslant k\leqslant m$ – это специально построенные нормированные пространства. В статье для любых пространств $L^{p_0} (\mathbb{R}^n)$, $L^p(\mathbb{R}^n)$, $p_0$, $p \in (1,+\infty]$ и любой функции $\gamma \in L^{p_0} (\mathbb{R}^n)$ вводится понятие множества резонансных точек функции $\gamma$ относительно пространства $L^p(\mathbb{R}^n)$. Это множество является подмножеством ${ \mathbb{R}^1 \cup {\infty}}^n$ и для всякого тригонометрического полинома n переменных относительно любого пространства $L^p(\mathbb{R}^n)$ представляет собой спектр рассматриваемого полинома. Рассмотрены теоремы о представлении каждой функции $\gamma \in L^{p_0}(\mathbb{R}^n)$ с непустым резонансным множеством в виде суммы двух функций таких, что первая из них принадлежит пространству $L^{p_0}(\mathbb{R}^n) \cap L^q(\mathbb{R}^n)$, $1/p + 1/q = 1$, а носитель преобразования Фурье второй сосредоточен в окрестности резонансного множества.