О решении двустороннего векторного уравнения в тропической алгебре

Рассматривается задача решения в контексте тропической математики векторного уравнения с двумя заданными матрицами и неизвестными векторами, каждая часть которого имеет вид произведения одной из матриц на неизвестный вектор. Такое уравнение, которое имеет неизвестные векторы по обе стороны от знака равенства, часто называют двусторонним. Предлагается новая процедура решения двустороннего уравнения на основе минимизации некоторой функции расстояния между векторами тропических векторных пространств, которые генерируются столбцами каждой из матриц. В результате получают пару векторов, которые обеспечивают минимум расстояния между пространствами и значение самого расстояния. Если уравнение имеет решения, то полученные векторы являются решением уравнения. В противном случае эти векторы определяют псевдорешение, которое минимизирует уклонение одной части уравнения от другой. Выполнение процедуры состоит в построении последовательности векторов, являющихся псевдорешениями двустороннего уравнения, в котором поочередно левая и правая части заменяются постоянными векторами. В отличие от известного алгоритма чередования (альтернирования), в котором вместо уравнений поочередно решаются соответствующие неравенства, предложенная процедура использует иное обоснование, представляется более простой и позволяет установить естественные критерии завершения расчетов. При отсутствии решений процедура также находит псевдорешение и определяет величину связанной с ним погрешности, что может оказаться полезным при решении задач аппроксимации.