Разрывные отображения и предельная нагрузка в краевых задачах нелинейной упругости

Рассматривается краевая задача нелинейной упругости для отображения (деформации) в двух слабых постановках: в форме вариационного уравнения равновесия и в форме минимизации многомерного интегрального функционала энергии. С математической точки зрения обе постановки относятся к задачам функционального анализа, на языке которого обсуждаются вопросы их математической корректности. Методами вариационного исчисления на примере двух простых задач доказывается, что для некоторых нелинейно упругих моделей в соответствующих краевых задачах могут существовать отображения, имеющие разрывы типа проскальзывания, а также предельная нагрузка - такое конечное значение внешних сил, выше которого краевая задача вообще не имеет никакого решения. К таким моделям относятся упругие потенциалы линейного роста по модулю градиента отображения, например широко известная статистическая модель Бартенева-Хазановича и феноменологическая модель Трелоара. Обсуждается взаимосвязь этих эффектов, а также отмечается, что полученные результаты необходимо учитывать при практическом использовании упругих потенциалов линейного роста по модулю градиента отображения. На примере задачи об осесимметричном кручении или растяжении круглого цилиндра аналитически строятся оценки снизу для предельной нагрузки методами вариационного исчисления и теории оптимизации. Анализ полученных соотношений показывает, что для упругих потенциалов степенного роста с показателем $p$ характерно степенное упрочнение с показателем $p - 1$. При линейном росте удельной энергии деформации по модулю градиента деформации наблюдается эффект насыщения, что отвечает предельной нагрузке. Указанное поведение характерно для краевых задач деформационной теории пластичности, где также существует предельная нагрузка при нулевом упрочнении, т. е. для идеальной упругопластичности.