Точное неравенство типа Джексона - Черныха для приближений сплайнами на оси

В работе устанавливается аналог неравенства Джексона - Черныха для приближений сплайнами в пространстве $L_2(\mathbb{R})$. При $r \in \mathbb{N}$, $\sigma > 0$ через $A_{\sigma r}(f)_2$ обозначается наилучшее приближение функции $f \in L_2(\mathbb{R})$ пространством сплайнов степени $r$ минимального дефекта с узлами $\frac{j \pi}{\sigma}$, $j \in \mathbb{Z}$, а через $\omega(f, \delta)$ - ее первый модуль непрерывности в $L_2(\mathbb{R})$. Основной результат работы таков. Для любой $f \in L_2(\mathbb{R})$
$$A_{\sigma r}(f)_2 \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}}\omega(f,\frac{\theta_r \pi}{\sigma})_2$$
, где $\varepsilon_r$ - положительный корень уравнения
$$\frac{4 \varepsilon^2(ch \frac{\pi \varepsilon}{\tau}-1)}{ch \frac{\pi \varepsilon}{\tau}+\cos \frac{\pi}{\tau}}= \frac{1}{3^{2r-2}}, \tau = \sqrt{1-\varepsilon^2}$$
, $\theta_r = \frac{1}{\sqrt{1-\varepsilon_r^2}}$. Константу $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на всем классе $L_2(\mathbb{R})$ уменьшить нельзя, даже если увеличить шаг у модуля непрерывности.