О некоторых локальных асимптотических свойствах последовательностей со случайным индексом

Мы рассматриваем случайные последовательности со случайным индексом, управляемым дважды стохастическим пуассоновским процессом. Мы называем процессом пуассоновского случайного индекса (ПСИ-процессом) случайный процесс с непрерывным временем $\psi(t)$, полученный путем субординации последовательности случайных величин $(\xi_j), j = 0, 1, \ldots,$ дважды стохастическим пуассоновским процессом $\Pi_1(t\lambda)$ посредством замены $\psi(t) = \xi_{\Pi_1(t\lambda)}$ , $t \geqslant 0$, где случайная интенсивность $\lambda$ предполагается независимой от стандартного пуассоновского процесса $\Pi_1$. В настоящей статье мы ограничиваемся случаем независимых одинаково распределенных случайных величин $(\xi_j)$ с конечной дисперсией. Для дробного процесса Орнштейна - Уленбека с показателем Хёрста $H \in (0, 1/2)$, который был введен и исследован Р. Вольпертом и М. Такку (2005), мы находим представление в виде предела нормированных сумм независимых одинаково распределенных ПСИ-процессов с явно заданным распределением случайной интенсивности $\lambda$. Такой дробный процесс Орнштейна - Уленбека локально в окрестности нулевого момента времени приближает в средне квадратичном дробное броуновское движение с тем же показателем Хёрста $H \in (0, 1/2)$. Мы детально изучаем следующие два примера ПСИ-процессов со случайной интенсивностью $\lambda$, порождающей дробный процесс Орнштейна - Уленбека в смысле Р. Вольперта и М. Такку. Это телеграфный процесс, который возникает, когда $\xi_0$ имеет распределение Радемахера $\pm1$ с вероятностью $1/2$, и ПСИ-процесс с равномерным распределением для $\xi_0$. Для этих примеров мы вычисляем точные и асимптотические значения локального модуля непрерывности для одного ПСИ-процесса по малому интервалу времени фиксированной длины.