Постановка и решение обобщенной задачи Чебышёва. II

Данная работа является продолжением статьи "Постановка и решение обобщенной задачи Чебышёва. I" (Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия, 2019), в которой для решения обобщенной задачи Чебышёва излагаются две теории движения неголономных систем со связями высокого порядка. Эти теории используются для исследования движения спутника Земли при фиксировании величины его ускорения (что эквивалентно наложению линейной неголономной связи третьего порядка). В предлагаемой статье вторая теория, базирующаяся на применении обобщенного принципа Гаусса, используется для решения одной из важнейших задач теории управления о нахождении оптимальной управляющей силы, переводящей механическую систему с конечным числом степеней свободы за указанное время из одного фазового состояния в другое. Применение теории демонстрируется решением модельной задачи об управлении горизонтальным движением тележки, несущей оси s математических маятников. Первоначально задача решается с помощью принципа максимума Понтрягина, минимизирующего функционал от квадрата искомой горизонтальной управляющей силы, переводящей за указанное время механическую систему из состояния покоя в новое состояние покоя при горизонтальном смещении тележки на S (то есть рассматривается задача о гашении колебаний). Назовем этот подход первым методом решения поставленной задачи управления. При этом непрерывно выполняется линейная неголономная связь порядка $2s + 4$. Это наталкивает на мысль применить для решения той же задачи вторую теорию движения неголономных систем со связями высокого порядка (см. предыдущую статью), разработанную на кафедре теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Назовем такой подход вторым методом решения поставленной задачи. Расчеты, проведенные для случая $s = 2$, показали, что при кратковременном движении системы результаты, полученные этими методами, практически совпадают, в то время как при длительном движении они резко различаются. Это объясняется тем, что управление, найденное с помощью первого метода, содержит гармоники с собственными частотами системы, что стремится ввести систему в резонанс. При кратковременном движении это мало заметно, а при длительном движении наблюдаются большие колебания системы. При втором методе управление находится в виде полинома от времени, что обеспечивает сравнительно плавное движение системы. Помимо этого в статье для устранения скачков управляющей силы в начале и в конце движения предлагается решать обобщенную краевую задачу и обсуждаются некоторые особые случаи, проявляющиеся иногда при использовании второго метода решения поставленной граничной задачи.