О направленном возмущении дискретных операторов

Под направленно возмущенным оператором будем понимать оператор, который построен путем возмущения дискретного оператора операторами сдвига, причем таким образом, что одной из собственных функций построенного оператора является любая наперед заданная ненулевая функция из области определения исходного оператора. При решении задач теоретической физики часто используют спектр исследуемого оператора, притом во многих случаях лишь дискретную его часть, а иногда совместно с собственными (и присоединенными) функциями. Наверное, для исследователя было бы немаловажным знать, что можно, возмущая исходный оператор, получать оператор с похожим на первоначальный спектром и наперед заданной функцией, являющейся какой угодно по номеру собственной функцией возмущенного оператора.