Приближение решения уравнения переноса-диффузии в пространстве Гёльдера

Рассматриваются приближенные решения для уравнения переноса-диффузии и их предельная функция, изучается принадлежность предельной функции к пространству Гёльдера, соответствующему регулярности данных. Цель исследования состоит в том, чтобы построить такое приближение решения уравнения переноса-диффузии, чтобы его основное свойство не зависело от величины коэффициента диффузии.
Точнее, рассматривается уравнение переноса-диффузии с постоянным коэффициентом диффузии в целом пространстве $ \mathbb{R}^d $ со свободным членом, который может зависеть от искомой функции. Приближенные решения на каждом шаге дискретизации по времени строятся с использованием ядра теплопроводности и локально линеаризованного перемещения, соответствующего переносу. Приближенные решения оцениваются в предположении, что заданные функции и их производные по $ x \in \mathbb{R}^d $ до порядка $ m $ включительно ($ m \geqslant 2 $) равномерно ограничены на $[0, \tau]\times \mathbb{R}^d $ для каждого $\tau > 0 $ и их производные порядка $ m $ непрерывны по Гёльдеру с показателем $ \alpha $, $ {2}/{3} < \alpha \leqslant 1$. Оценки не зависят от величины коэффициента диффузии. На основании этих оценок доказываются равномерная сходимость приближенных решений и их производных по $ x $ до порядка $ m $ включительно на $[0, \tau]\times \mathbb{R}^d $, сходимость их производных порядка $ m $ в пространстве Гёльдера $ C^{0+\alpha '} (\mathbb{R}^d)$, $ 0 < \alpha ' < \alpha$, для каждого $ t \geqslant 0 $ и непрерывность по Гёльдеру с показателем $\alpha$ производных по $ x $ порядка $ m $ предельной функции, которая удовлетворяет уравнению. То есть показано, что при использовании пространства Гёльдера получается та же дифференцируемость предельной функции, как и дифференцируемость данных, а в предыдущих работах для получения дифференцируемости порядка $ m $ предельной функции предполагалась дифференцируемость порядка $ m +1 $ данных.