Численный анализ нелинейных колебаний пластины на вязкоупругом основании под действием подвижной осциллирующей нагрузки на основе моделей с дробными производными

Цель. Исследуются нелинейные колебания упругой шарнирно опертой пластины на вязкоупругом основании под действием подвижной осциллирующей нагрузки в случае внутреннего резонанса $1{:}1$, сопровождаемого внешним резонансом. Свойства вязкоупругого основания задаются с помощью обобщенной модели Фусса–Винклера, в которой сила демпфирования описывается моделью стандартного линейного твердого тела с дробной производной Римана–Лиувилля. Внешняя нагрузка задается при помощи линейного вязкоупругого осциллятора на основе модели Кельвина–Фойгта с дробной производной в случае, когда вязкость осциллятора считается малой величиной. Динамическое поведение пластины описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по времени относительно обобщенных перемещений. Методы. Для решения полученной системы уравнений используется метод многих временных масштабов в сочетании с методом разложения дробной производной в ряд Тейлора. Результаты. Получены разрешающие уравнения для определения нелинейных амплитуд и фаз вынужденных колебаний, решение которых получено численно. Данная система уравнений позволяет управлять не только демпфирующими свойствами окружающей среды и основания за счет изменения параметров дробности, но также регулировать параметры демпфирования внешней нагрузки. Выводы. Численный анализ показал, что в рассматриваемой системе «пластина на вязкоупругом основании + подвижная осциллирующая нагрузка» происходит перекачка энергии между взаимодействующими модами колебаний. Представлено сравнение результатов численных исследований для различных значений внешней нагрузки, а также показана зависимость амплитуд нелинейных колебаний от значений параметров дробности окружающей среды и основания.