| Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки» |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Краткие сообщения Механика деформируемого твердого тела К теории гемитропных тензоров четвертого ранга в трехмерных пространствах Евклида Е. В. Мурашкин, Ю. Н. Радаев Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук, г. Москва (публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International)
Реферативные базы данных:
 § 1. ВведениеВ математических моделях современной механики континуума [1]–[7] особое значение имеют определяющие тензоры и псевдотензоры четвертого ранга, участвующие в записи определяющих уравнений линейных анизотропных микрополярных упругих сред. Поэтому привлечение формализма псевдотензорного анализа [8]–[12] необходимо для геометрически корректного построения определяющих уравнений микрополярных континуумов. При этом особую роль играет ротационная инвариантность (полуизотропность, демитропность, гемитропность) компонент тензоров и псевдотензоров [6], [13]–[16], и ковариантное постоянство1 псевдотензорного поля [8], [11], [12]. Достаточно подробное и полное описание псевдотензорного формализма можно найти в книгах по тензорному анализу и механике сплошных сред [8]–[12]. Использование псевдотензорного формализма имеет исключительное значение при разработке математических моделей изотропных и гемитропных микрополярных упругих сред (см. [17]–[21]). Основной целью работы является исследование свойств тензоров четвертого ранга и их координатных представлений, представляющих интерес с точки зрения механики микрополярных континуумов [17]–[24]. Во втором разделе статьи обсуждаются свойства и способы координатного представления тензоров и псевдотензоров с постоянными компонентами. Рассмотрен алгоритм получения ковариантно постоянных тензоров и псевдотензоров, предложенный в монографии [8]. Устанавливаются условия ковариантного постоянства псевдотензоров с постоянными компонентами. В третьем разделе обсуждается оптимальная неконвенциональная терминология, связанная с понятиями полностью изотропных, конвенционально изотропных, неконвенционально изотропных, полуизотропных (демитропных, гемитропных) тензоров и псевдотензоров четвертого ранга. На основе неконвенционального определения для полуизотропного тензора четвертого ранга приводится координатное представление в терминах дельт Кронекера и метрических тензоров. Выясняются условия приведения произвольного полуизотропного тензора четвертого ранга к тензору с постоянными компонентами. В четвертом разделе приводятся координатные представления для определяющих тензоров и псевдотензоров, использующихся при математическом моделировании линейных гемитропных микрополярных континуумов. В работе будет использована неконвенциональная терминология, существо которой будет разъяснено позже. § 2. Тензоры и псевдотензоры с постоянными компонентамиТензором (псевдотензором) с постоянными компонентами [8; стр. 164] называется тензор (псевдотензор), сохраняющий (retain) неизменными все свои компоненты при любых линейных преобразованиях координатного репера: самые важные из них – повороты, преобразования масштабирования (scaling), центральная инверсия, зеркальные отражения. Абсолютный тензор второго ранга, с точностью до постоянного множителя $a$ (абсолютного инварианта) совпадающий с единичным аффинором, будет тензором с постоянными компонентами: Псевдотензор третьего ранга с постоянными компонентами пропорционален символам перестановок. Дельты Кронекера и символы перестановок – простейшие и самые важные примеры тензоров с постоянными компонентами. Несложно показать, что наиболее общий абсолютный тензор четвертого ранга $C^{il}_{sm}$ с постоянными компонентами можно представить в виде
$$
\begin{equation}
C^{il}_{sm}=a \delta^{i}_{s}\delta^{l}_{m}+c\delta^{l}_{s}\delta^{i}_{m},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $a$ и $c$ – абсолютные инварианты (абсолютные скаляры).2 В монографии [8; стр. 164–176] предлагается общий алгоритм построения тензоров и псевдотензоров с постоянными компонентами для целых положительных (отрицательных) весов. Например, общий вид псевдотензора $ \overset{[\text{w}]}{C}{}^{h_1h_2\ldots h_s}_{k_1k_2\ldots k_r}$ с постоянными компонентами целого отрицательного веса представляется формулой
$$
\begin{equation}
\overset{[\text{w}]}{C}{}^{h_1h_2\ldots h_s}_{k_1k_2\ldots k_r}=\sum\limits^{r!}_{P=1}\lambda_{P} \delta^{h_1}_{\{ k_1}\delta^{h_2}_{k_2}\cdots\delta^{h_s}_{k_s} \underbrace{\!\overset{[-1]}{\epsilon}{}_{\!\!k_{s+1}\ldots k_{s+N}}\cdots\overset{[-1]}{\epsilon}{}_{\!\!k_{r-N+1}\ldots k_{r}\}_{P}}\!}_{|\text{w}|}\,\,,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $r$ – число ковариантных индексов, $s$ – число контравариантных индексов, $N$ – размерность пространства, $\text{w}$ – вес, целое отрицательное число, $\lambda_{P}$ $(P=1,2,\ldots,r!)$ – произвольные постоянные (абсолютные инварианты), $P$ – перестановка ряда натуральных чисел
$$
\begin{equation*}
k_1,\ldots, k_s,\ldots,k_{s+N},\ldots, k_{r-N+1},\ldots, k_{r}.
\end{equation*}
\notag
$$
В формуле (2) по ковариантным индексам, заключенным в фигурные скобки, производятся всевозможные перестановки. Число ковариантных, контравариантных индексов и вес псевдотензора должны удовлетворять ограничению откуда Если условие (3) не выполняется, то псевдотензор $ \overset{[\text{w}]}{C}{}^{h_1h_2\ldots h_s}_{k_1k_2\ldots k_r}$ с постоянными компонентами будет равен нулю. Отметим, что псевдотензорное поле $\overset{[\text{w}]}{C}{}^{h_1h_2\ldots h_s}_{k_1k_2\ldots k_r} $ с постоянными компонентами является ковариантно постоянным и удовлетворяет псевдотензорному уравнению
$$
\begin{equation*}
\nabla_s\overset{[\text{w}]}{C}{}^{h_1h_2\ldots h_s}_{k_1k_2\ldots k_r}=\overset{[\text{w}]}{0},
\end{equation*}
\notag
$$
при условии Обратим внимание, что псевдотензоры вида (2) не составляют полного набора ковариантно постоянных абсолютных тензоров. Наглядный пример – параллельное векторное поле, которое является ковариантно постоянным вектором, но не может быть представлено в виде вектора с постоянными компонентами. Примеры ковариантно постоянных тензоров и псевдотензоров подробно обсуждались в работах (см. [8], [11], [12], [22], [23]). Среди них – фундаментальный ориентирующий псевдоскаляр $e$3 и его алгебраические степени, $\delta$-символы, $\epsilon$-символы, $e$-символы, метрические тензоры $g^{kh}$, $g_{hk}$ которые часто используются в микрополярных теориях механики сплошных сред [18]–[21]. § 3. Абсолютные полуизотропные тензоры четвертого рангаВ дальнейшем будем придерживаться неконвенциональной терминологии. Неконвенционально изотропным (полностью изотропным) будем называть тензор (псевдотензор), не меняющий свои компоненты при любых поворотах координатного репера, зеркальных отражениях и центральных инверсиях трехмерного пространства [6], [13], [14], [16]. Конвенционально изотропным тензором (псевдотензором) называется тензор (псевдотензор), сохраняющий неизменными все свои компоненты при поворотах координатного репера. Конвенционально изотропные тензоры (псевдотензоры) терминологически лучше неконвенционально называть полуизотропными, демитропными или гемитропными. Для абсолютного полуизотропного тензора четвертого ранга в декартовой системе координат будет справедливо представление [13; p. 77]:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, {H}{}_{islm}=a \delta_{is}\delta_{lm}+\dfrac{b-c}{2} (\delta_{il}\delta_{sm}-\delta_{im}\delta_{sl})+ \dfrac{b-c}{2} (\delta_{il}\delta_{sm}+\delta_{im}\delta_{sl}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
т.е.
$$
\begin{equation}
{H}{}_{islm}=a \delta_{is}\delta_{lm}+b \delta_{il}\delta_{sm}+ c\delta_{im}\delta_{sl}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Здесь $a$, $b$, $c$ – ротационные инварианты, сохраняющие свои значения при поворотах декартова репера. В отличие от представления (1) для тензора с постоянными компонентами, в представлении (4) для полуизотропных тензоров четвертого ранга участвует слагаемое $\delta_{il}\delta_{sm}$ с множителем $b$. Представление (4) легко записывается в произвольной системе координат после замены $\delta$-символов на метрические тензоры:
$$
\begin{equation}
{H}{}^{islm}=a g^{is} g^{lm}+b g^{il} g^{sm}+ c g^{im} g^{sl}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Так как компоненты метрического тензора $g^{is}$ не меняются при поворотах координатного репера, то правая часть в (5), очевидно, также остается неизменной. Если считать $a$, $b$, $c$ абсолютными инвариантами, то правая часть в (5) не будет также меняться при зеркальных отражениях и центральных инверсиях. Полуизотропное тензорное поле ${H}^{islm}$ оказывается ковариантно постоянным и удовлетворяет псевдотензорному уравнению при условии ковариантного постоянства инвариантов $a$, $b$, $c$, т.е.
$$
\begin{equation*}
\nabla_k a=0, \qquad \nabla_k b=0, \qquad \nabla_k c=0,
\end{equation*}
\notag
$$
или
$$
\begin{equation*}
\partial_k a=0, \qquad \partial_k b=0, \qquad \partial_k c=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что полностью изотропный тензор четвертого ранга не отличается от полуизотропного тензора. § 4. Применение в линейных микрополярных теорияхТензоры и псевдотензоры четвертого ранга играют исключительно важную роль в математических моделях линейных анизотропных микрополярных упругих континнуумов [17], [21], [25]. Введем в рассмотрение микрополярный упругий потенциал ${\mathscr U}$, рассчитанный на единицу инвариантного элемента объема, с естественными псевдотензорными аргументами
$$
\begin{equation*}
{\mathscr U}={\mathscr U}(\epsilon_{ij},\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!\!i\cdot}^{\cdot s})\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\epsilon_{ij}$ – асимметричный тензор деформации; $\overset{[+1]}{\kappa}{}_{\!\!\!i\cdot}^{\cdot s}$ – псевдотензор деформации изгиба–кручения. Упругий потенциал полагается абсолютным инвариантом (скаляром), не зависящим в том числе от зеркальных отражений и центральной инверсии трехмерного пространства. В случае линейного анизотропного микрополярного упругого тела упругий потенциал в произвольной системе координат получается в форме
$$
\begin{equation}
{\mathscr U}=\underset{1}{H}^{islm}\epsilon_{is}\epsilon_{lm}+ \overset{[-2]}{\underset{2}{H}}{}^{islm}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{is}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{lm}+\overset{[-1]}{\underset{3}{H}}{}^{islm}\epsilon_{is}\overset{[+1]}{\kappa}{}_{lm}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Отметим, что единственным определяющим тензором четвертого ранга чувствительным к преобразованиям зеркального отражения и центральной инверсии трехмерного пространства, оказывается определяющий псевдотензор $\overset{[-1]}{\underset{3}{H}}{}^{islm}$. Микрополярное тело называется гемитропным, если компоненты его определяющих тензоров не изменяются при поворотах координатного репера, т.е. полуизотропны. Чтобы воспользоваться результатами предыдущего раздела, преобразуем энергетическую форму (6) с помощью фундаментального ориентирующего псевдоскаляра $e$, элиминируя веса псевдотензоров:
$$
\begin{equation*}
{\mathscr U}=\underset{1}{H}^{islm}\epsilon_{is}\epsilon_{lm}+ e^2\overset{[-2]}{\underset{2}{H}}{}^{islm}\dfrac{\overset{[+1]}{\kappa}{}_{is}}{e}\dfrac{\overset{[+1]}{\kappa}{}_{lm}}{e}+e\overset{[-1]}{\underset{3}{H}}{}^{islm}\epsilon_{is}\dfrac{\overset{[+1]}{\kappa}{}_{lm}}{e},
\end{equation*}
\notag
$$
в итоге получим
$$
\begin{equation}
{\mathscr U}=\underset{1}{H}^{islm}\epsilon_{is}\epsilon_{lm}+ {\underset{2}{H}}{}^{islm}{\kappa}{}_{is}{\kappa}{}_{lm}+{\underset{3}{H}}{}^{islm}\epsilon_{is}{\kappa}{}_{lm}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Полученная энергетическая форма (7), как правило, используется при построении моделей гемитропных микрополярных упругих континуумов. С помощью координатного представления (5) для определяющих линейный гемитропный микрополярный упругий континуум псевдотензоров можно получить следующие формы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \underset{1}{H}^{islm}=\underset{1}{a} g^{is}g^{lm}+\underset{1}{b}g^{il}g^{sm}+ \underset{1}{c}g^{im}g^{sl}\,, \\ & {\underset{2}{H}}{}^{islm}= \underset{2}{a} g^{is}g^{lm}+\underset{2}{b} g^{il}g^{sm}+ \underset{2}{c}g^{im}g^{sl}\,, \\ & {\underset{3}{H}}{}^{islm}= \underset{3}{a} g^{is}g^{lm}+\underset{3}{b} g^{il}g^{sm}+ \underset{3}{c}g^{im}g^{sl}\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
Здесь $\underset{1}{a}$, $\underset{1}{b}$, $\underset{1}{c}$, $\underset{2}{a}$, $\underset{2}{b}$, $\underset{2}{c}$, $\underset{3}{a}$, $\underset{3}{b}$, $\underset{3}{c}$ – девять определяющих постоянных гемитропного микрополярного упругого тела. С точки зрения тензорной алгебры $\underset{1}{a}$, $\underset{1}{b}$, $\underset{1}{c}$, $\underset{2}{a}$, $\underset{2}{b}$, $\underset{2}{c}$, $\underset{3}{a}$, $\underset{3}{b}$, $\underset{3}{c}$ как минимум являются полуизотропными инвариантами. С тем чтобы вернуться к энергетической форме (6), необходимо преобразовать представления для определяющих тензоров (8). Для этого выполним следующие замены:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \overset{[-2]}{\underset{2}{H}}{}^{islm}= e^{-2}{\underset{2}{H}}{}^{islm}, \qquad \overset{[-1]}{\underset{3}{H}}{}^{islm}= e^{-1}{\underset{3}{H}}{}^{islm}, \\ & \overset{[-2]}{\underset{2}{a}}=e^{-2}\underset{2}{a}, \qquad \overset{[-2]}{\underset{2}{b}}=e^{-2}\underset{2}{b}, \qquad \overset{[-2]}{\underset{2}{c}}=e^{-2}\underset{2}{c}, \\ & \overset{[-1]}{\underset{3}{a}}=e^{-1}\underset{3}{a}, \qquad \overset{[-1]}{\underset{3}{b}}=e^{-1}\underset{3}{b}, \qquad \overset{[-1]}{\underset{3}{c}}=e^{-1}\underset{3}{c}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Подставив выражения (9) в координатные представления (8), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \underset{1}{H}^{islm}=\underset{1}{a} g^{is}g^{lm}+\underset{1}{b}g^{il}g^{sm}+ \underset{1}{c}g^{im}g^{sl}\,, \\ & \overset{[-2]}{\underset{2}{H}}{}^{islm}= \overset{[-2]}{\underset{2}{a}} g^{is}g^{lm}+\overset{[-2]}{\underset{2}{b}} g^{il}g^{sm}+ \overset{[-2]}{\underset{2}{c}}g^{im}g^{sl}\,, \\ & \overset{[-1]}{\underset{3}{H}}{}^{islm}= \overset{[-1]}{\underset{3}{a}} g^{is}g^{lm}+\overset{[-1]}{\underset{3}{b}} g^{il}g^{sm}+ \overset{[-1]}{\underset{3}{c}}g^{im}g^{sl}\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если вместо определяющих постоянных $\underset{\mathfrak a}{a}$, $\underset{\mathfrak a}{b}$, $\underset{\mathfrak a}{c}$ перейти к конвенциональным механическим постоянным, таким как $G$, $\nu$, $L$, …, то характерная микродлина $L$ будет псевдоскаляром отрицательного веса $-1$. § 5. ВыводыВ статье выясняется круг вопросов, связанных с координатными представлениями тензоров и псевдотензоров с постоянными компонентами, абсолютных полуизотропных тензоров и их приложением к механике гемитропных микрополярных тел.
Конкурирующие интересы.Заявляем, что в отношении авторства и публикации этой статьи конфликта интересов не имеем. Авторский вклад и ответственность.Все авторы принимали участие в разработке концепции статьи и в написании рукописи. Авторы несут полную ответственность за предоставление окончательной рукописи в печать. Окончательная версия рукописи была одобрена всеми авторами. Финансирование.Работа выполнена в рамках государственного задания (№ госрегистрации АААА–А20–120011690132–4) и при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 20–01–00666). 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MurRad22} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|