|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
Дифференциальные уравнения и математическая физика
Метод Римана для уравнений с доминирующей частной производной (обзор)
А. Н. Мироновab, Л. Б. Мироноваa, Ю. О. Яковлеваb a Казанский (Приволжский) федеральный университет,
Елабужский институт (филиал),
г. Елабуга, 423600, Россия
b Самарский государственный технический университет, г. Самара, 443100, Россия
(публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International)
Аннотация:
Данная обзорная статья посвящена классу линейных уравнений с доминирующей частной производной
вида $(D+M)u=f$, где $Du$ — смешанная частная производная, а $M$ — линейный дифференциальный оператор, содержащий производные функции $u$, получаемые из $D$ отбрасыванием по крайней мере одного дифференцирования.
Можно отметить структурное сходство таких уравнений с линейными обыкновенными дифференциальными уравнениями. Излагается метод Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной, являющийся естественным обобщением хорошо известного метода Римана для гиперболического уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными.
В статье изложены основные положения теории, разработанной для уравнения с доминирующей частной производной общего вида, позволяющие заинтересованному читателю применить полученные результаты
к интересующей его задаче.
Дается определение функции Римана как решения интегрального уравнения Вольтерры, приведено основное дифференциальное тождество, продемонстрирован процесс получения формулы решения задачи Коши в терминах функции Римана путем интегрирования указанного тождества по соответствующей области в $n$-мерном пространстве. Приведен пример построения решения задачи Коши для одного уравнения третьего порядка.
Далее излагается метод Римана для достаточно широкого класса линейных систем уравнений гиперболического типа (в том числе с кратными характеристиками). Данный метод идейно весьма близок к методу Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной.
Обсуждаются вопросы приложений метода Римана к исследованию новых задач для уравнений с частными производными. В частности, с использованием метода Римана доказана корректность новых граничных задач для факторизованных гиперболических уравнений, исследованы вопросы разрешимости интегральных уравнений с частными интегралами, определенная модификация метода Римана позволяет развивать метод Римана–Адамара для задач Дарбу. Представление решений гиперболических систем в явном виде в терминах матрицы Римана позволяет исследовать новые граничные задачи, в частности, задачи с заданием нормальных производных искомых функций на характеристиках, задачи с условиями на всей границе области, задачи Дарбу.
Изложенный здесь метод Римана для линейных уравнений с доминирующей частной производной очевидным образом переносится на матричные уравнения. В связи с этим указаны некоторые случаи, когда
для таких матричных уравнений построена в явном виде (в терминах гипергеометрических функций)
матрица Римана.
В работе дается обзор литературы, кратко излагается история развития данного направления в России и за рубежом.
Ключевые слова:
метод Римана, функция Римана, матрица Римана, задача Коши, задача Гурса, задача Дарбу, уравнение с доминирующей частной производной, гиперболическое уравнение, система уравнений гиперболического типа, уравнение Бианки, уравнение Векуа, уравнение Аллера, уравнение Баренблатта–Желтова–Кочиной, уравнение Буссинеска–Лява.
Получение: 15 марта 2021 г. Исправление: 28 апреля 2021 г. Принятие: 11 мая 2021 г. Публикация онлайн: 18 мая 2021 г.
Образец цитирования:
А. Н. Миронов, Л. Б. Миронова, Ю. О. Яковлева, “Метод Римана для уравнений с доминирующей частной производной (обзор)”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 25:2 (2021), 207–240
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/vsgtu1853 https://www.mathnet.ru/rus/vsgtu/v225/i2/p207
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 585 | PDF полного текста: | 313 | Список литературы: | 58 |
|