О некоторых свойствах симметричной копулы Граббса

Изучаются односторонние статистики Граббса, т. е. экстремальные стьюдентизированные отклонения наблюдений от выборочного среднего, найденные по нормально распределенной выборке. Исследуется двупараметрическое совместное распределение этих статистик, возникающее в случае, когда присутствующее в выборке аномальное наблюдение (выброс) отличается от остальных наблюдений величиной дисперсии. Выводится формула для вычисления плотности распределения вероятностей стьюдентизированного отклонения выброса от среднего. Из совместного распределения статистик Граббса извлекается двупараметрическая копула Граббса. Доказывается, что эта копула является симметричной. Как следствие, односторонние статистики Граббса обладают свойством обмениваемости. Выполняется компьютерное моделирование скаттерплотов из копулы Граббса. Анализ скаттерплотов показывает, что статистическая зависимость, описываемая копулой Граббса, является отрицательной. Для исследования влияния параметров копулы на силу этой зависимости выполняется оценивание коэффициента ранговой корреляции $\tau$-Кендалла копулы. Алгоритм оценивания использует компьютерное моделирование и реализован в пакете R. Найдено, что параметры копулы $n$ и $\nu>0$ оказывают разнонаправленное влияние на величину коэффициента $\tau$-Кендалла. Так, рост параметра $n$ при неизменной величине параметра $\nu$ приводит к уменьшению (по абсолютной величине) коэффициента $\tau$-Кендалла, что отражает уменьшение силы взаимосвязи между маргиналами, заключенными в копулу Граббса. Если не изменять параметр $n$, то с увеличением параметра $\nu$ до значений, близких к 1, коэффициент $\tau$-Кендалла уменьшается (по абсолютной величине), что отражает уменьшение силы взаимосвязи. Дальнейший рост параметра $\nu$ приводит к росту коэффициента $\tau$-Кендалла (по абсолютной величине), что отражает усиление отрицательной взаимозависимости между маргиналами.