On an inverse Regge problem for the Sturm–Liouville operator with deviating argument

Исследуется краевая задача вида $Ly=\rho^2 y$, $y(0)=y'(\pi)+i\rho y(\pi)=0$, где $L$ — оператор Штурма–Лиувилля с постоянным запаздыванием $a$. Данная краевая задача является обобщением классической задачи Редже. Потенциал $q({}\cdot{})$ есть вещественнозначная функция из пространства $L_2(0,\pi)$, обращающаяся в 0 почти всюду на $(0,a)$. Никаких других ограничений на потенциал не налагается, в частности, не предполагается никаких дополнительных условий относительно поведения $q(x)$ при $x\to \pi$. При столь общих предположениях асимптотическое разложение характеристической функции краевой задачи при $\rho\to\infty$ не содержит главного члена. Как следствие, стандартные методы не позволяют получить в явном виде асимптотику спектра. В работе рассматривается обратная задача восстановления оператора по заданному подмножеству спектра краевой задачи. Обратные задачи для дифференциальных операторов с отклоняющимся аргументом существенно сложнее по сравнению с классическими обратными задачами для дифференциальных операторов. «Нелокальность» таких операторов является непреодолимым препятствием для применения классических методов теории обратных задач. Мы рассматриваем обратную задачу в случае запаздывания, большего или равного половине длины интервала, и показываем, что задание подмножества спектра краевой задачи при определенных условиях однозначно определяет потенциал. Соответствующие подмножества спектра описываются в терминах их плотности. В работе также представлена конструктивная процедура решения обратной задачи.