Об одной нелокальной задаче для уравнения Эйлера–Дарбу

Для обобщенного уравнения Эйлера–Дарбу в области, представляющей собой первый квадрант, поставлена краевая задача со смещением, в которой, в отличие от предыдущих постановок, задаются два условия: одно связывает интегралы, а другое — производные дробного порядка от значений искомого решения в граничных точках. На линии сингулярности коэффициентов уравнения заданы условия сопряжения, непрерывные относительно решения и его нормальной производной. За основу решения поставленной задачи авторы взяли полученное ими ранее решение задачи Коши специального класса, которое за счет интегрального представления одной из заданных функций приобрело простой вид как для положительных, так и для отрицательных значений параметра уравнения Эйлера–Дарбу. Поставленная авторами нелокальная задача свелась к системе интегральных уравнений Вольтерры с несверточными операторами, единственное решение которой получено в явном виде в соответствующем классе функций. Это позволяет утверждать, что решение нелокальной задачи единственно. Факт существования решения доказывается непосредственной проверкой. Проведенные авторами рассуждения позволили получить решение поставленной нелокальной задачи в явном виде как для положительных, так и для отрицательных значений параметра уравнения Эйлера–Дарбу.