Сходимость матричного метода численного интегрирования краевых задач для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами

Исследованы вопросы устойчивости и сходимости предложенного ранее матричного метода численного интегрирования краевых задач с граничными условиями первого, второго и третьего рода для линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Использование многочленов Тейлора произвольных степеней позволило повысить порядок аппроксимации метода до произвольного натурального числа и отказаться от аппроксимации производных конечными разностями. При выборе второй степени многочлена Тейлора уравнения метода совпали с известными уравнениями традиционного метода численного интегрирования краевых задач, в котором производные аппроксимированы конечными разностями. Показано, что достаточный критерий устойчивости при использовании в методе многочленов Тейлора степени три и выше совпадает с достаточным критерием устойчивости традиционного метода сеток для численного интегрирования краевых задач с граничными условиями первого, второго и третьего рода. Теоретически установлено, что скорость сходимости матричного метода интегрирования краевых задач с граничными условиями первого рода пропорциональна степени используемого многочлена Тейлора в случае, когда эта степень является чётной, и пропорциональна числу, меньшему степени на единицу, когда эта степень является нечётной; при интегрировании краевых задач с граничными условиями второго и третьего рода скорость сходимости метода пропорциональна степени используемого многочлена Тейлора независимо от её чётности и меньше неё на единицу. Полученные теоретические результаты подтверждены численным экспериментом.