Бигравитация в гамильтоновом формализме

Одним из путей решения проблемы темной энергии Вселенной является теория бигравитации, содержащая два метрических тензора, каждый из которых минимально взаимодействует со своим набором полей материи. Лагранжиан бигравитации является суммой двух лагранжианов общей теории относительности с разными гравитационными постоянными и разными наборами полей материи, а также потенциала взаимодействия двух метрик, не содержащего производных. В общем случае такая теория содержит 8 гравитационных степеней свободы: безмассовый гравитон, массивный гравитон и дух. Специальный выбор потенциала, предложенный де Рам, Габададзе и Толи (dRGT), позволяет избавиться от духовой степени свободы. Однако потенциал dRGT построен с помощью матричного квадратного корня и не является явной функцией от компонент двух метрик. Одним из путей обхода этой трудности является использование тетрадных переменных. В докладе рассмотрен альтернативный подход, в котором предполагается существование потенциала, выраженного дифференцируемой функцией компонент $(3+1)$-разложения двух метрик, затем выводятся свойства этой функции, необходимые и достаточные для исключения духовой степени свободы. Результаты получены с помощью анализа уравнений связи, возникающих в бигравитации, путем вычисления скобок Пуассона между связями и гамильтонианом. Основными гравитационными переменными являются две индуцированные на гиперповерхностях пространства метрики и сопряженные им импульсы, кроме того, в формализме в качестве вспомогательных переменных присутствуют функции смещения и сдвига обеих метрик. После этого исключения 3-х вспомогательных переменных остается набор из 4-х связей первого рода, порождающих диффеоморфизмы пространства-времени, относительно которых бигравитация инвариантна, и 2-х связей второго рода, исключающих духовую степень свободы. Получены следующие требования к потенциалу:

• потенциал удовлетворяет системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно всех своих аргументов;
• потенциал удовлетворяет однородному уравнению Монжа–Ампера относительно 4-х вспомогательных переменных;
• гессиан потенциала относительно 3-х вспомогательных переменных не вырожден.